Tổng hợp

Có bao nhiêu số tự nhiên?

Trong toán học, các số tự nhiên được sử dụng để đếm (như trong “có sáu đồng xu trên bàn”) và thứ tự (như trong “đây là thành phố lớn thứ ba trong cả nước”).  Vậy có bao nhiêu số tự nhiên? Quý vị hãy cùng chúng tôi tìm hiểu ở bài viết sau.

Số tự nhiên là gì?

Trong toán học, số tự nhiên là tập hợp những số lớn hơn hoặc bằng 0, được ký hiệu là N. Ví dụ như các số 0; 1; 2; 3; 4; 5…. Được gọi là các số tự nhiên. 

Số tự nhiên được kí hiệu là N. Như vậy kí hiệu tập hợp các số tự nhiên sẽ là N = {0; 1; 2; 3; 4; 5…}. 

Bạn đang xem: Có bao nhiêu số tự nhiên?

Tính chất của số tự nhiên

Bởi số tự nhiên được sử dụng nhiều nhất trong toán học và cả trong thực tế hằng ngày. Vì vậy các bạn cần lưu ý nắm rõ về khái niệm, tính chất một cách chính xác để có thể áp dụng vào công việc, học tập của mình. Một số tính chất tập hợp số tự nhiên như sau:

Trong dãy số tự nhiên liên tiếp thì luôn có tính tăng dần. Tức hai số liên tiếp sẽ có một số nhỏ và một số lớn hơn. Ví dụ như hai số 6, 7 thì ta có 6 < 7 ( sáu bé hơn bảy) hay 7 > 6 (bảy lớn hơn sáu).

 Số tự nhiên được biểu diễn hình tia thì luôn có chiều mũi tên từ trái sang phải và các điểm trên tia có tính tăng dần.

 Khi số a nhỏ hơn số b, ta viết a < b hoặc b > a. Nếu a < b, b < c thì ta có a < c

 Một số tự nhiên chỉ có một số liền sau duy nhất. Ví dụ số 5 thì số liền sau của số 5 là số 6.

 Một số tự nhiên chỉ có một số liền trước duy nhất, trừ số 0 bởi số 0 là số nhỏ nhất.

 Số tự nhiên nhỏ nhất  là số 0

 Không tồn tại số tự nhiên lớn nhất.

 Tổng số phần tử của tập hợp các số tự nhiên là vô số.

Có bao nhiêu số tự nhiên?

Theo như tính chất của số tự nhiên đã chỉ ra, số tự nhiên nhỏ nhất là số 0 và không có số tự nhiên lớn nhất. Như vậy, hiện nay chúng ta không thể xác định được rằng có tất cả bao nhiêu số tự nhiên.

Các phép toán trên tập hợp số tự nhiên

Thứ nhất: Phép cộng

1.a + 0 = a

2.a + S(b) = S(a + b)

Phép cộng này khiến (ℕ, +) trở thành một vị nhóm giao hoán với phần tử trung lập là 0, cũng là một vị nhóm tự do với một hệ sinh nào đó. Vị nhóm thỏa tính chất khử và do đó có thể được nhúng trong một nhóm. Nhóm nhỏ nhất chứa các số tự nhiên là số nguyên.

Nếu chúng ta ký hiệu S(0) là 1, khi đó b + 1 = b + S(0) = S(b + 0) = S(b); tức là, số liền sau của b chẳng qua là b + 1.

Thứ hai: Phép nhân

Tương tự như phép cộng, chúng ta định nghĩa phép nhân × như sau

1.a × 0 = 0

2.a × S(b) = (a × b) + a

Phép nhân được định nghĩa như vậy khiến (N,×) trở thành một vị nhóm với phần tử trung lập là 1; một hệ sinh của vị nhóm này chính là tập hợp các số nguyên tố.

Phép cộng và phép nhân thỏa tính chất phân phối: a × (b + c) = (a × b) + (a × c).

Các tính chất mà phép cộng và phép nhân thỏa khiến tập số tự nhiên trở thành một trường hợp ví dụ của nửa vành giao hoán. Nửa vành là dạng tổng quát hóa đại số của số tự nhiên mà trong đó phép nhân không cần phải thỏa tính giao hoán.

Nếu chúng ta hiểu tập hợp số tự nhiên theo nghĩa”không có số 0″và”bắt đầu bằng số 1″thì các định nghĩa về phép + và × cũng vẫn thế, ngoại trừ sửa lại a + 1 = S(a) và a × 1 = a.

Trong phần còn lại của bài này, chúng ta viết ab để ám chỉ tích a × b, và chúng ta cũng sẽ thừa nhận quy định về thứ tự thực hiện các phép toán.

Thứ ba: Quan hệ thứ tự

Chúng ta có thể định nghĩa một quan hệ thứ tự toàn phần trên tập số tự nhiên như sau:

Với hai số tự nhiên a,b, ta có a ≤ b nếu và chỉ nếu tồn tại một số tự nhiên c sao cho a + c = b. Kiểu sắp thứ tự này cùng với các phép toán số học đã định nghĩa ở trên cho ta:

Nếu ab và c là các số tự nhiên và a ≤ b, thì a + c ≤ b + c và ac ≤ bc

Tập số tự nhiên còn có một tính chất quan trọng nữa là chúng là tập sắp tốt: mọi tập không rỗng của các số tự nhiên phải có một phần tử nhỏ nhất.

Thứ tư: Phép chia có dư và phép chia hết

Cho hai số tự nhiên ab và b ≠ 0. Xét tập hợp M các số tự nhiên p sao cho pb ≤ a. Tập này bị chặn nên có một phần tử lớn nhất, gọi phần tử lớn nhất của M là q. Khi đó bq ≤ a và b(q + 1) > a. Đặt r = a − bq. Khi đó ta có

a = bq + r, trong đó 0 ≤ r < b.

Có thể chứng minh rằng các số q và r là duy nhất. Số q được gọi là thương hụt (hay vắn tắt là thương), số r được gọi là số dư khi chia a cho b. Nếu r = 0 thì a = bq. Khi đó ta nói rằng a chia hết cho b hay b là ước của aa là bội của b.

Trên đây là nội dung bài viết có bao nhiêu số tự nhiên? Cảm ơn Quý khách hàng đã quan tâm theo dõi bài viết của chúng tôi.

Đăng bởi: THPT Nguyễn Siêu

Chuyên mục: Tổng hợp

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Back to top button

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!